货币的时间价值
利率的三种形式
- 要求回报率： 客户要求的回报率。
- 折现率，贴现率(discount rate)： 未来收益折算为现值。
- 机会成本(oppotunity cost): 失去的潜在收益。相同风险水平(identical risk)上的次优水平(next best)的收益率。
要求回报的构成
- 要求回报率 = 名义无风险利率 + 风险溢价
- 名义无风险利率 = 实际无风险利率 + 通货膨胀率
- 风险溢价 = 流动性风险溢价 + 违约风险溢价 + 期限风险溢价
有效年利率(EAR: effective annual rate)
$EAR = (1 + r/n)^n -1$
r是名义利率(nominal rate)。 n是一年内复利次数。
单笔现金流的现值和终值
- FV: 终值
- r: 利率
- PV: 现值
- n: 期数
终值计算：
每年一次复利FV: $ FV = PV(1+r)^n $
每年多次复利FV: $ FV_N = PV(1+\frac{r}{m})^{mn} $
连续复利FV: $ FV = PVe^{rn} $
现值计算：$ PV = FV/(1+r)^{n} $
此过程称为折现。此时r为折现率。
年金
年金指一定时期内一系列相等金额的收付款项. 比如: 按揭贷款吗分期付款, 发放养老金, 支付租金, 提取折旧.
- A: 每年收付的金额
- i: 每期利率
- F: 年金终值
- P: 年金现值
- n: 期数
年金终值计算:
$F = A \left(\frac{(1+i)^n - 1}{i} \right)$
年金现值计算
$F = A \left(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \right)$
先付年金(annuity due): 年初先给钱, 所以多算一个复利(1 + i)
$F = A \left(\frac{(1+i)^{n+1} - 1}{i} - 1\right)$
递延年金: 第一次收款在第二期或者第二期之后
永续年金: 无限期支付,只有现值没有终值.
$P = \frac{A}{i}$
货币时间价值的应用
- 不等额现金流量终值和现值: 每年分开计算即可
- 分段年金流量: 同上
- 养老金: 同上
TI BA II计算器使用
Todo
折现现金流方法的应用
净现值和内部投资收益率
净现值(net present value, NPV)
一项投资所产生的未来现金流的折现值和项目投资成本之间的差值.
净现值为正即投资方案可行.
$C0$: 当前成本
$CF_t$ : 第t年的净收益值
$NPV = PV - C_0 = \sum{i=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} $内部收益率(internal rate of return, IRR)
能够使现金流入量的现值等于现金流出量现值的贴现率, 或者是使投资方案净现值为0的贴现率.
$NPV = CF_0 + \frac {CF_1}{(1 + IRR)^1} + \frac {CF_2}{(1 + IRR)^2} + … + \frac {CF_N}{(1 + IRR)^N} = 0$选择项目
- 独立项目(independent project)
投资决策不受其他项目投资决策影响.不存在选项目问题. 就看是不是 NPV>0, IRR<收益率 - 互斥项目(mutually exclusive project)
选择A项目就不能选择B.
所以要选择NPV大的, IRR高的.
如果相互矛盾, 就要选NPV大的, 因为IRR不能反映投资规模.
金融计算器计算NPV, IRR
Todo
持有期收益(holding period return, HPR)
某一投资工具持有一段时间所带来的总收益, 包括利息收入或股利收入和资本利得或损失.
$P_t$: 第t年终值
$ HPR = \frac {P_1 - P_0 + CF_1}{P_0}$
$P_1 - P_0$: 资本的升值
$CF_1$: 净收益值, 红利
银行贴现收益率, 持有期收益率, 有效年利率和货币市场收益率
- 持有期收益率(holding period yield, HPY)
$ HPY = Rt = \frac {P_t - P{t-1} + CF_t}{P_t}$
相当于t-1时刻到t时刻的HPR - 有效年利率(effective annual yield, EAY)
$ EAY = (1 + HPY)^{\frac{365}{t}} - 1 $
一般而言讨论金融产品收益率都是指年收益率 - 银行贴现收益率 (band discount yield)
这是对于银行贴现证券而言的.
P: 证券的购买价格
F: 证券的票面价格
t: 持有到期时间
$r_{BD} = \frac{F - P}{F}\frac{360}{t}$ - 货币市场收益率 (money market yield)
相比于银行贴现收益率, 使用P作为分母, 更科学.
$r_{MM} = \frac{F - P}{P}\frac{360}{t}$
注意, $r_{MM}$是用的单利, 而且用了360天计算, 而EAY用了复利, 而且是365天计算!!这就是他们的区别!!
各值相互转换
$EAY = (1 +HPY)^{\frac{365}{t}} - 1$
$HPY = \frac {r{BD}(\frac{t}{360})}{1 - r{BD}(\frac{t}{360})}$
推导:
$r{BD} = \frac{F-P}{F} =\frac{ P_t + CF_t - P{t-1}}{P{t-1} + CF_t}\times \frac{360}{t} = \frac {HPY}{1-HPY} \times \frac{360}{t}$
=> $HPY = \frac {r{BD}(\frac{t}{360})}{1 - r_{BD}(\frac{t}{360})}$
$r{MM} = \frac{F - P}{P} \times \frac{360}{t} = HPY \times \frac{360}{t} = \frac{360 \times r{BD}}{360 - t \times r{BD}} = \frac {r{BD}}{1 - t \times \frac{r_{BD}}{360}}$
- 债券等价收益率(bond equivalend yield, BEY)
P: 债券价格
r: 半年期收益率
M: 到期支付的本金
C: 每次支付的利息
n: 利息期数
$ P = \frac{C}{1+r} +\frac{C}{(1+r)^2} +… +\frac{C + M}{(1+r)^n}$
求得r为半年期收益率, 而债券等价收益率 BEY = 2 r
*美国要求必须这么算一年的单利!
HPY 和 BEY, EAY可以相互转换
$1 + HPY = (1 + \frac{BEY}{2})^{2 \times \frac{t}{365}} = (1 + EAY)^{\frac{t}{365}}$
货币加权收益率和时间加权收益率
货币加权收益率(内部收益率) (money weighted rate of return)
R_D : 货币加权收益率
V_0 : 证券组合初始市场价值
V_N: 证券组合的期末市场价值
C_K: 自期间k内现金流入减去流出
$ V_0 = \frac{C_1}{1+ R_D} +\frac{C_2}{(1+R_D)^2} +… +\frac{C_N + V_N}{(1+R_D)^n}$
货币加权收益率就是IRR 换了个理解方式而已时间加权收益率(time-weighted rate of return)(几何收益率)
Rr: 时间加权收益率
R{Pk}: 子期间k的组合投资收益
N: 评估期内的子期间数
$ Rr = [(1 +R{P1})(1 +R{P2})…(1 +R{PN})]^{\frac{1}{N}} - 1$
